$3$\displaystyle{{y}^{n}}$ について微分

$3$\displaystyle{ y=f$x$ }$ であるとき， $3$\displaystyle{{y}^{n}}$ を $3$\displaystyle{ x }$ について微分すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}{y}^{n}=n{y}^{ n- 1 }\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

となる． $3$\displaystyle{ y }$ が具体的な関数として表わされていないので $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ を用いている．

■導出

$3$\displaystyle{z={y}^{n}}$

とおき

$3$\displaystyle{z={y}^{n}}$

$3$\displaystyle{ y=f$x$ }$

の合成関数と考える．合成関数の導関数より

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{=n{y}^{ n- 1 }\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

(∵ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}{y}^{n}=n{y}^{ n- 1 }}$ 　ここを参照)

となる．したがって

$3$\displaystyle{ \displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\displaystyle{\log \mid y\mid }}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$

となる．

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>log|y|のxについて微分

最終更新日： 2024年5月17日